The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(n^1, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

nats → adx(zeros)
zeros → cons(n__0, n__zeros)
incr(cons(X, Y)) → cons(n__s(activate(X)), n__incr(activate(Y)))
adx(cons(X, Y)) → incr(cons(activate(X), n__adx(activate(Y))))
hd(cons(X, Y)) → activate(X)
tl(cons(X, Y)) → activate(Y)
0 → n__0
zeros → n__zeros
s(X) → n__s(X)
incr(X) → n__incr(X)
adx(X) → n__adx(X)
activate(n__0) → 0
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__incr(X)) → incr(activate(X))
activate(n__adx(X)) → adx(activate(X))
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(n¹):
The rewrite sequence
incr(cons(n__incr(X39178_1), Y)) →⁺ cons(n__s(incr(X39178_1)), n__incr(activate(Y)))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0].
The pumping substitution is [X39178_1 / cons(n__incr(X39178_1), Y)].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(n^1, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

nats → adx(zeros)
zeros → cons(n__0, n__zeros)
incr(cons(X, Y)) → cons(n__s(activate(X)), n__incr(activate(Y)))
adx(cons(X, Y)) → incr(cons(activate(X), n__adx(activate(Y))))
hd(cons(X, Y)) → activate(X)
tl(cons(X, Y)) → activate(Y)
0' → n__0
zeros → n__zeros
s(X) → n__s(X)
incr(X) → n__incr(X)
adx(X) → n__adx(X)
activate(n__0) → 0'
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__incr(X)) → incr(activate(X))
activate(n__adx(X)) → adx(activate(X))
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
nats → adx(zeros)
zeros → cons(n__0, n__zeros)
incr(cons(X, Y)) → cons(n__s(activate(X)), n__incr(activate(Y)))
adx(cons(X, Y)) → incr(cons(activate(X), n__adx(activate(Y))))
hd(cons(X, Y)) → activate(X)
tl(cons(X, Y)) → activate(Y)
0' → n__0
zeros → n__zeros
s(X) → n__s(X)
incr(X) → n__incr(X)
adx(X) → n__adx(X)
activate(n__0) → 0'
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__incr(X)) → incr(activate(X))
activate(n__adx(X)) → adx(activate(X))
activate(X) → X

Types:
nats :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
adx :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
zeros :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
cons :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__0 :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__zeros :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
incr :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__s :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
activate :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__incr :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__adx :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
hd :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
tl :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
0' :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
s :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
hole_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx1_1 :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
gen_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx2_1 :: Nat → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
adx, incr, activate

They will be analysed ascendingly in the following order:
adx = incr
adx = activate
incr = activate

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
nats → adx(zeros)
zeros → cons(n__0, n__zeros)
incr(cons(X, Y)) → cons(n__s(activate(X)), n__incr(activate(Y)))
adx(cons(X, Y)) → incr(cons(activate(X), n__adx(activate(Y))))
hd(cons(X, Y)) → activate(X)
tl(cons(X, Y)) → activate(Y)
0' → n__0
zeros → n__zeros
s(X) → n__s(X)
incr(X) → n__incr(X)
adx(X) → n__adx(X)
activate(n__0) → 0'
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__incr(X)) → incr(activate(X))
activate(n__adx(X)) → adx(activate(X))
activate(X) → X

Types:
nats :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
adx :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
zeros :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
cons :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__0 :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__zeros :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
incr :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__s :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
activate :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__incr :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__adx :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
hd :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
tl :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
0' :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
s :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
hole_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx1_1 :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
gen_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx2_1 :: Nat → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx

Generator Equations:
gen_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx2_1(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx2_1(+(x, 1)) ⇔ cons(n__0, gen_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx2_1(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
incr, adx, activate

They will be analysed ascendingly in the following order:
adx = incr
adx = activate
incr = activate

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol incr.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
nats → adx(zeros)
zeros → cons(n__0, n__zeros)
incr(cons(X, Y)) → cons(n__s(activate(X)), n__incr(activate(Y)))
adx(cons(X, Y)) → incr(cons(activate(X), n__adx(activate(Y))))
hd(cons(X, Y)) → activate(X)
tl(cons(X, Y)) → activate(Y)
0' → n__0
zeros → n__zeros
s(X) → n__s(X)
incr(X) → n__incr(X)
adx(X) → n__adx(X)
activate(n__0) → 0'
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__incr(X)) → incr(activate(X))
activate(n__adx(X)) → adx(activate(X))
activate(X) → X

Types:
nats :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
adx :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
zeros :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
cons :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__0 :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__zeros :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
incr :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__s :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
activate :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__incr :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__adx :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
hd :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
tl :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
0' :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
s :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
hole_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx1_1 :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
gen_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx2_1 :: Nat → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx

Generator Equations:
gen_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx2_1(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx2_1(+(x, 1)) ⇔ cons(n__0, gen_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx2_1(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
activate, adx

They will be analysed ascendingly in the following order:
adx = incr
adx = activate
incr = activate

(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol activate.

(12) Obligation:

TRS:
Rules:
nats → adx(zeros)
zeros → cons(n__0, n__zeros)
incr(cons(X, Y)) → cons(n__s(activate(X)), n__incr(activate(Y)))
adx(cons(X, Y)) → incr(cons(activate(X), n__adx(activate(Y))))
hd(cons(X, Y)) → activate(X)
tl(cons(X, Y)) → activate(Y)
0' → n__0
zeros → n__zeros
s(X) → n__s(X)
incr(X) → n__incr(X)
adx(X) → n__adx(X)
activate(n__0) → 0'
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__incr(X)) → incr(activate(X))
activate(n__adx(X)) → adx(activate(X))
activate(X) → X

Types:
nats :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
adx :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
zeros :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
cons :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__0 :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__zeros :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
incr :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__s :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
activate :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__incr :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__adx :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
hd :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
tl :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
0' :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
s :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
hole_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx1_1 :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
gen_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx2_1 :: Nat → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx

Generator Equations:
gen_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx2_1(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx2_1(+(x, 1)) ⇔ cons(n__0, gen_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx2_1(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
adx

They will be analysed ascendingly in the following order:
adx = incr
adx = activate
incr = activate

(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol adx.

(14) Obligation:

TRS:
Rules:
nats → adx(zeros)
zeros → cons(n__0, n__zeros)
incr(cons(X, Y)) → cons(n__s(activate(X)), n__incr(activate(Y)))
adx(cons(X, Y)) → incr(cons(activate(X), n__adx(activate(Y))))
hd(cons(X, Y)) → activate(X)
tl(cons(X, Y)) → activate(Y)
0' → n__0
zeros → n__zeros
s(X) → n__s(X)
incr(X) → n__incr(X)
adx(X) → n__adx(X)
activate(n__0) → 0'
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__s(X)) → s(X)
activate(n__incr(X)) → incr(activate(X))
activate(n__adx(X)) → adx(activate(X))
activate(X) → X

Types:
nats :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
adx :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
zeros :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
cons :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__0 :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__zeros :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
incr :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__s :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
activate :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__incr :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
n__adx :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
hd :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
tl :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
0' :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
s :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
hole_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx1_1 :: n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx
gen_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx2_1 :: Nat → n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx

Generator Equations:
gen_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx2_1(0) ⇔ n__0
gen_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx2_1(+(x, 1)) ⇔ cons(n__0, gen_n__0:n__zeros:cons:n__s:n__incr:n__adx2_1(x))

No more defined symbols left to analyse.